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第 252 场周赛

Problem A - 三除数​

方法一：穷举​

按照通常的做法穷举因子即可。可以加入提前终止的优化。

  • 时间复杂度O(N)\mathcal{O}(\sqrt{N})。
  • 空间复杂度O(1)\mathcal{O}(1)。
参考代码（C++）
class Solution {
public:
    bool isThree(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                ans++;
                if (i != n / i)
                    ans++;
                if (ans > 3)
                    return false;
            }
        }
        return ans == 3;
    }
};

Problem B - 你可以工作的最大周数​

方法一：贪心​

容易发现：如果阶段任务最多的那个项目可以完成，那么其他项目必定可以全部完成。否则的话，我们需要以其他项目作为分隔来隔开任务最多的那个项目，在其他项目有remrem个任务的情况下，这样最多可以安排2rem+12rem + 1个任务。

二者取较小的那个即可。

  • 时间复杂度O(N)\mathcal{O}(N)。
  • 空间复杂度O(1)\mathcal{O}(1)。
参考代码（Python 3）
class Solution:
    def numberOfWeeks(self, milestones: List[int]) -> int:
        hi = max(milestones)
        s = sum(milestones)
        rem = s - hi
        return min(s, rem * 2 + 1)

思考​

如果做了一个项目之后，需要再做kk个其他项目才能再做这个项目，应该如何做？如果每个项目的kik_i不同呢？

Problem C - 收集足够苹果的最小花园周长​

方法一：二分+数学​

经过推导，可以得出，正方形的右上角为(n,n)(n,n)时：

  • 最外面一圈，从任意一个顶点开始，到下一个顶点之前的苹果数为2n,2n−1,…,n,n+1,…,2n−12n,2n-1,\dots,n,n+1,\dots,2n-1，总数为2⋅(n+2n−1)n2+n=3n22\cdot\frac{(n+2n-1)n}{2}+n=3n^2，因此这一圈的苹果数为12n212n^2
  • 从第一圈到第nn圈包含的苹果总数为12∑i2=2n(n+1)(2n+1)12\sum i^2=2n(n+1)(2n+1)，而对应的周长为8n8n。

因此二分答案即可。

  • 时间复杂度O(log⁡C)\mathcal{O}(\log C)，其中C=105C=10^5。
  • 空间复杂度O(1)\mathcal{O}(1)。
参考代码（Python 3）
class Solution:
    def minimumPerimeter(self, neededApples: int) -> int:
        lo = 1
        hi = int(1e5)
        while lo <= hi:
            mid = (lo + hi) >> 1
            total = 2 * mid * (mid + 1) * (2 * mid + 1)
            if total >= neededApples:
                hi = mid - 1
            else:
                lo = mid + 1
        return 8 * lo

思考​

如果只要求包含原点，并且不限定为正方形，应该如何做？

Problem D - 统计特殊子序列的数目​

方法一：动态规划​

因为只要下标集合不同就是不同的子序列，所以我们不存在重复的子序列。因此，我们只要记录当前的00串数目、0101串数目和012012串数目即可。

因为我们可以从00串得到00串和0101串，从0101串得到0101串和012012串，从012012串得到012012串，所以转移是很清晰的：

  • 如果当前位是00，则可以增加zero+1zero+1个00串；
  • 如果当前位是11，则可以增加zero+onezero+one个0101串；
  • 如果当前位是22，则可以增加one+twoone+two个012012串。

最后注意取模。

  • 时间复杂度O(N)\mathcal{O}(N)。
  • 空间复杂度O(1)\mathcal{O}(1)。
参考代码（C++）
using ll = long long;
const ll MOD = 1e9 + 7;

class Solution {
public:
    int countSpecialSubsequences(vector<int>& nums) {
        ll zero = 0, one = 0, two = 0;
        for (int num : nums) {
            if (num == 0) {
                zero += 1 + zero;
                zero %= MOD;
            } else if (num == 1) {
                one += zero + one;
                one %= MOD;
            } else {
                two += one + two;
                two %= MOD;
            }
        }
        return two;
    }
};

思考​

如果下标集合不同，但包含的数值完全相同的两个子序列认为是重复的，应该如何做？