卡特兰数

卡特兰数（Catalan numbers, OEIS A000108）是一个非常重要的数列。其前10项为：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862

其递推公式为

C(N)=\sum_{i=0}^{N-1}C(i)C(N-1-i)

其中边界条件为 $C(0)=1$ 。

进一步地，可以求出其通项公式为

C(N)=\frac{2N\choose N}{N+1}=\frac{(2N)!}{N!(N+1)!}

卡特兰数是一个非常神奇的序列，它与许多看似千差万别的问题都有着紧密的关联。这些问题包括：

卡特兰数的性质

卡特兰数 $C_n$ 是奇数，当且仅当 $n=2^k-1$ 。

证明：

C_n=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}=\frac{(2n-1)!!\cdot2^n}{(n+1)!}

显然 $(2n-1)!!$ 中不含 $2$ ，所以要判断 $C_n$ 的奇偶性，也就要判断 $(n+1)!$ 含有多少个 $2$ 。

这时，我们有：

T=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor+\lfloor\frac{n+1}{4}\rfloor+\cdots+\lfloor\frac{n+1}{2^k}\rfloor<n+1

也即 $T\leq n$ 。其中 $k=\argmax_t(2^t\leq n+1)$ 。

下面我们要说明 $n=2^k-1$ 是等号成立的充要条件。

充分性是显然的，将 $n=2^k-1$ 代入上式，可得：

T=2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots+1=2^k-1=n

下面说明必要性。设 $n=2^k+x,0\leq x<2^k-1$ ，则 $n+1<2^{k+1}$ ，也即 $k=\argmax_t(2^t\leq n+1)$ 依然成立。

此时，原式左边变为：

l.h.s=2^k-1+\lfloor\frac{x+1}{2}\rfloor+\lfloor\frac{x+1}{4}\rfloor+\cdots+\lfloor\frac{x+1}{2^k}\rfloor

从而:

l.h.s<2^k-1+x+1=2^k+x=n

这样，我们就说明了原命题的充要性。进而可知， $C_n$ 为奇数，当且仅当 $n=2^k-1$ 。

所有卡特兰数中只有两个质数， $C_2=2$ 以及 $C_3=5$ 。

小贴士

本题要求给出具体的方案。如果只需要给出方案总数，那么结果即为卡特兰数。